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आइए एंगल बाईसेक्टर प्रमेय का उपयोग करके एक आसान चरण-दर-चरण उदाहरण हल करते हैं। समस्या: त्रिभुज PQR में, कोण P का एंगल बाईसेक्टर सामने वाली भुजा QR को बिंदु S पर मिलता है। यदि भुजा PQ = 6 सेमी, भुजा PR = 8 सेमी, और भुजा QR की कुल लंबाई = 7 सेमी है, तो दोनों छोटे टुकड़ों QS और SR की लंबाई ज्ञात कीजिए। चरण 1: दी गई जानकारी को समझें और अपने मन में एक चित्र बनाएं। हमारे पास एक त्रिभुज PQR है। रेखा PS, कोण P का एंगल बाईसेक्टर है। चरण 2: एंगल बाईसेक्टर प्रमेय के नियम को याद करें। प्रमेय कहती है कि समद्विभाजित कोण से मिलने वाली दो भुजाओं का अनुपात, सामने वाली भुजा के दो टुकड़ों के अनुपात के बराबर होता है। सूत्र के रूप में: (PQ / PR) = (QS / SR)। चरण 3: सूत्र में अपनी जानी-पहचानी संख्याएँ रखें। PQ, 6 है और PR, 8 है। इसलिए, (6 / 8) = (QS / SR)। चरण 4: बाईं ओर के भिन्न को सरल करें। 6 और 8 दोनों को 2 से विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, 6 / 8 बदलकर 3 / 4 बन जाता है। अतः, (QS / SR) = (3 / 4)। चरण 5: वास्तविक लंबाई ज्ञात करने के लिए बीजगणित (algebra) का उपयोग करें। चूंकि अनुपात 3 अनुपात 4 है, मान लीजिए कि QS = 3x और SR = 4x, जहाँ x एक सामान्य गुणक (multiplier) है। चरण 6: QR की कुल लंबाई प्राप्त करने के लिए QS और SR को एक साथ जोड़ें। हम जानते हैं कि QR = 7 सेमी है। इसलिए, 3x + 4x = 7। चरण 7: x का मान निकालें। पदों को जोड़ें: 7x = 7। दोनों पक्षों को 7 से भाग दें, जिससे x = 1 मिलता है। चरण 8: अंतिम लंबाई ज्ञात करें। QS = 3x = 3 * 1 = 3 सेमी। SR = 4x = 4 * 1 = 4 सेमी। अंतिम उत्तर: QS की लंबाई 3 सेमी है और SR की लंबाई 4 सेमी है।