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आइए एक मजेदार समस्या को चरण-दर-चरण हल करें! मान लीजिए आपके पास एक डिश में 100 बैक्टीरिया हैं। बैक्टीरिया को गुणा होना पसंद है, और जिस दर से वे बढ़ते हैं वह किसी भी समय t पर मौजूद बैक्टीरिया की संख्या के सीधे आनुपातिक (proportional) होती है। 2 घंटे के बाद, बैक्टीरिया की संख्या बढ़कर 400 हो जाती है। 4 घंटे बाद कितने बैक्टीरिया होंगे? चरण 1: अवकल समीकरण लिखें। मान लीजिए समय t पर बैक्टीरिया की आबादी P है। समय के साथ आबादी के परिवर्तन की दर dP/dt है। चूँकि यह P के आनुपातिक है, हम लिखते हैं dP/dt = k * P, जहाँ k एक वृद्धि स्थिरांक है। चरण 2: चरों को अलग करें। सभी P पदों को एक तरफ और t पदों को दूसरी तरफ ले जाएँ। हमें मिलता है (1/P) dP = k dt। चरण 3: दोनों पक्षों का समाकलन (integrate) करें। (1/P) dP का समाकलन ln(P) है, और k dt का समाकलन k*t + C है। अतः, ln(P) = k*t + C। चरण 4: P के लिए हल करें। दोनों पक्षों पर घातांक (e) लें। हमें मिलता है P = e^(k*t + C), जिसे P = e^C * e^(k*t) लिखा जा सकता है। मान लीजिए A = e^C है। तो हमारा सूत्र P(t) = A * e^(k*t) बन जाता है। चरण 5: प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करके A ज्ञात करें। t = 0 पर, हमारे पास 100 बैक्टीरिया हैं। अतः, 100 = A * e^(k*0)। चूकि e^0 = 1 है, A = 100। हमारा सूत्र P(t) = 100 * e^(k*t) हो जाता है। चरण 6: दूसरे प्रतिबंध का उपयोग करके k ज्ञात करें। t = 2 घंटे पर, आबादी 400 है। अतः, 400 = 100 * e^(k*2)। दोनों पक्षों को 100 से भाग दें: 4 = e^(2k)। दोनों पक्षों पर प्राकृतिक लॉग लें: ln(4) = 2k, इसलिए k = ln(4) / 2 = ln(2)। चरण 7: t = 4 घंटे के लिए अंतिम प्रश्न का उत्तर दें। P(4) = 100 * e^(ln(2) * 4) = 100 * (e^(ln(2)))^4 = 100 * (2^4) = 100 * 16 = 1600 बैक्टीरिया। 4 घंटे बाद 1600 बैक्टीरिया होंगे!